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首先,解答什么是卡方分布就需要了解这个分布为什么叫“卡方”。卡方,是音译自希腊字符
卡方分布是由Karl Pearson在1900年提出的。
接着,我们应该去了解一下它的定义。维基百科上给出的定义如下:
是独立、标准正态分布的随机变量,把他们的平方和计为Q,
。
这个Q是服从自由度为K的卡方分布的。通常,也会被计为:
或者
。卡方分布只有一个变量,就是k。k在这里要求是正整数,它代表了自由度。
之后,本科统计系的“圣经”,浙江大学第四版的《概率论与数理统计》中对于卡方分布的定义如下:
设
是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量
服从自由度为n的卡方分布,计为
。自由度是指上述等式中包含的独立变量的个数。书中还贴心的给出了分布的密度函数:
其中,
是伽马分布函数。
嗯,上面的定义都有一些抽象,下面,统计小菜鸡准备用R语言,给大家用图片的形式,直观地去看看这个“传说中”的卡方分布到底是长什么样子的。
首先,根据上面的定义,我们来验证一下
,
,
和
的形状。因为这个只是取了有限个的样本(1000000),所以,只能说近似泊松分布。
R语言的代码我贴在了下面:
x1 = rnorm(1000000)
x2 = rnorm(1000000)
x3 = rnorm(1000000)
x4 = rnorm(1000000)
x5 = rnorm(1000000)
Q1 = x1^2
Q2 = x1^2 + x2^2
Q3 = x1^2 + x2^2 + x3^2
Q5 = x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + x5^2
par(mfrow=c(1,1))
plot(density(Q1), xlim = c(0,6), ylim = c(0,0.6), col = 'blue', lwd = 1.5, main = 'chi-square', xlab = '', ylab='')
lines(density(Q2), col = 'black', lwd = 1.5)
lines(density(Q3), col='red', lwd = 1.5)
lines(density(Q5), col='green', lwd = 1.5)
legend('topright',c('df=1','df=2','df=3','df=5'),fill=c('blue','black','red','green'))
接着我们采用1000个样本量,用R语言的内嵌卡方分布函数呈现了五个卡方分布的样子,分别是
,
,
,
和
可以看出,泊松分布不像正态分布,它并没有对称这一特征,而且根据自由度的不同,长相也很“随意”。
得到这幅图的代码如下:
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(tidyr)
data.frame(chisq = 0:1000 / 100) %>%
mutate(df_01 = dchisq(x = chisq, df = 1),
df_02 = dchisq(x = chisq, df = 2),
df_03 = dchisq(x = chisq, df = 3),
df_05 = dchisq(x = chisq, df = 5),
df_10 = dchisq(x = chisq, df = 10)) %>%
gather(key = "df", value = "density", -chisq) %>%
ggplot() +
geom_line(aes(x = chisq, y = density, color = df)) +
labs(title = "Chi-Square at Various Degrees of Freedom",
x = "Chi-square",
y = "Density") +
coord_cartesian(ylim = c(0, 0.5))
在写这个问题的时候,看到了@普通人在“卡方分布怎么理解?”的回答,他的回答很有趣,用掷色子的例子非常形象的讲述了泊松分布是怎么诞生的,但是可能后面的simulation(拟合)部分有些深奥,如果有会python的同学看了真的会受益匪浅。
了解完了定义接着就是泊松分布的性质,浙大的《概率论和数理统计》书上主要讲了泊松分布的三个性质。
(1)、可加性(如果两个卡方分布相互独立,则它们相加的分布是两者自由度之和的泊松分布)
(2)、告诉了我们泊松分布的自由度和方差
(3)、分布位点
不仅如此,卡方分布还是t分布和F分布定义的重要组成部分,而t和F分布在方差检验和回归分析中又占有重要的地位。
除了上述性质以外,在George和Roger在statistical inference(统计推断)这本书里还提到,卡方分布也是指数分布簇的一员。关于卡方分布簇,统计推断这本书里有着一下的定义:
如果一个分布的密度函数能拆分成上述形式,则其属于指数分布簇。
这里我们变形一下,把泊松分布的密度函数变个形式:
很容易看出基本符合上述指数族分布模型。为什么在这里要提指数分布族呢?
因为指数分布族中的分布以及指数分布族的性质具有族群性,就是说这几个分布之间是具有统一的规律和特性的。除此之外,指数分布族还具有很多优良的性质,这些性质在贝叶斯统计中也是非常重要的性质。指数分布族在机器学习(machine learning)模型的参数假设以及参数推理中有很广泛的运用。
如果要说卡方分布最广泛的应用在何处,我们就不得不提卡方检验。卡方检验归属于非参数检验部分,主要应用于比较两个及两个以上样本率(构成比)以及两个分类变量的关联性分析这两方面。
卡方检验在分类资料统计推断中的应用,包括:两个率或两个构成比比较的卡方检验;多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。
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